ラグランジュ乗数法と陰関数定理

杉浦『解析入門 ?(基礎数学2)』を寝る前に読んでいたら陰関数定理の応用というかトリビアっぽくラグランジュの乗数法について書かれているのを発見。これは面白い。というか、何だからわらかないのにわかった気になるところが面白い。これについてはもう少し考えてみたい。とりあえず、今日はメモ(って、この日記自体がメモなんだが)。

関数fとgがあって、gを制約とするfの最小化を考える。f(x.y)とg(x,y)=0という問題だとすると、g(x,y)=0は陰関数だからある関数φが存在して(どこで?)y=φ(x)となる。これをfに代入してやるとf(x,φ(x))なる関数を得る。これをxで微分して0とおく。
$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{d \phi}{d x}=0$
一方、g(x,φ(x))=0だから、これをxで微分しても0。
$\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}\frac{d \phi}{d x}=0$
偏微分を下付で表すと、
$f_x + f_y \phi '=0$
$g_x + g_y \phi '=0$
左辺をφで整理すると、
$\phi ' = -\frac{f_x}{f_y}=-\frac{g_x}{g_y}$
よって、
$\frac{f_x}{g_x}=\frac{f_y}{g_y}$
これをλとおけば初めの二式は
$f_x - \lambda g_x=0$
$f_y - \lambda g_y=0$
と表される。そこで、
$\Phi=f-\lambda g$
とおくと、
$\Phi_x=0,\quad \Phi_y=0, \quad \Phi_\lambda=0$
となり、極値が満たすべき条件となる。(λでΦを偏微分すると制約式g(x,y)=0を得る。)