Cr級写像の微分
Cr級写像の微分がイメージできない。例をいくつかやってみてもわからない。難しく考えすぎてるのかな。
まず、方向微分と接ベクトルの関係であるとか、それらのイメージがわからない。すぐにわかりやすい例が思いつかない。思いついているように自分では思っていても、それが正しいと自信が持てない。
可微分多様体Mから同じく可微分多様体NへのCr級写像fの微分とはMの接ベクトルをNの接ベクトルに対応させる作用のこと。一番簡単な例はRを多様体として見て、RからRへの1変数関数を考えることだけど、この場合Rのある点での接ベクトル空間ってRそのものでしょ?
RからRへのCr級写像としてy=x2を考える。ある点での局所座標系として自然な座標を入れる。あ、でもy=x2という表現が既に座標に依存しているからこういう言い方は出来ないのかなぁ。具体的に考えようとすると、訳が分からなくなる。とにかく幾何学的に2次曲線が平面にあるとすれば、見慣れた座標系としてのx=0,y=0の点の周りに普通の座標系を局所座標として入れるとする。接ベクトル自体はこうした座標系に依存しない幾何学的な概念だから、座標を考えなくても理解できるのかもしれないが、とりあえず座標を考えることにする。
x=0の点での接ベクトルは単なる実数だから、例えば2とすると、多様体上の写像fを局所座標表示したy=x2の微分はこれをどう写すのか。サッパリワカラン。微積分学的な微分だとfの微分は2xだから、x=0での微分は0となる。多様体的に考えると接ベクトル2を0ベクトルに写したってことなんだろうけど、キチンと定義に従ってやるとどうなるんだろ。実際、定義域側の接ベクトルは何を持ってきてもx=0の点では零ベクトルに写すはず。
ま、2週間ぶりぐらいに1時間ばかし勉強したけど、これだけ間が空くと駄目だな。もう忘れてる。しかも前回やった量が多すぎて、ノートを見返しても印象に残っていない。あんまり気合い入れすぎて一度にやるのもよくないんだな。
